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\documentclass{sig-alternate}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{color}
\usepackage{amssymb}
\hyphenation{de-ter-mi-nis-ta Ge-ne-ra-dor ge-ne-ra re-pre-sen-ta-das di-fe-ren-cia a-pro-xi-ma-da-men-te cons-tan-te mues-tras}
\begin{document}

\title{Examen Final}
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\alignauthor
Tom\'as Alvarez$^1$
       \email{talvarez@alu.itba.edu.ar}
\alignauthor
Carlos Castro$^1$
       \email{cacastro@alu.itba.edu.ar}
\alignauthor
Gabriel Cosi$^1$
       \email{gcosi@alu.itba.edu.ar}
\and
\alignauthor
Jos\'e Indalecio Liendro$^1$
       \email{jliendro@alu.itba.edu.ar}
\alignauthor
Gast\'on Ponti$^1$
       \email{gponti@alu.itba.edu.ar}
\alignauthor
Cristián Prieto$^1$
       \email{cprieto@alu.itba.edu.ar}
}
\date{31 Octubre 2011}
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% number that will appear in the \additionalauthors section.

\maketitle
{\color{white}\footnote[1]{ITBA}}


\section{Ejercicio 1}

Una facilidad est\'a formada por tres servidores en paralelo $s_1$, $s_2$ y $s_3$ . Los clientes llegan a una cola simple FIFO y conforme un servidor se desocupa, el primer cliente en la fila es servido. Todo cliente que termina de ser atendido, pasa a una nueva cola FIFO que es atendida por un servidor simple $S$ de control. Finalizada esta atenci\'on, el cliente se retira del sistema.
Los clientes llegan con intervalos entre arribos exponencialmente distribuidos con media $\lambda$ minutos. Los servidores $s_i$ atienden con tiempos de servicios IID exponenciales todos con tiempo medio $\mu$. El servidor $S$ de control, atiende con intervalo de tiempo tambi\'en exponencial de tiempo medio $\alpha$. 

Sabiendo que $\lambda = 1$ y $\mu = 2$, se realizan simulaciones de atenci\'on de clientes en el sistema planteado para $n = 1000$ clientes, variando $\alpha$ entre $0.25$ y $5$ incrementalmente con un paso de $0.25$. En la figura \ref{fig1ej1} se muestra el tiempo medio en cola por cliente en funci\'on de $\alpha$. Se aprecia que para valores de $\alpha$ menores a $\frac{2}{3}$, el servidor de control $S$ es capaz de atender a los clientes que ya pasaron por los servidores $s_1$, $s_2$ y $s_3$. Cuando $\alpha$ supera el valor cr\'itico $\frac{2}{3}$, $S$ se vuelve el cuello de botella, pues no puede responder a los clientes que le env\'ian los otros servidores. As\'i, comienzan a acumularse cada vez m\'as clientes en la cola, aumentando significativamente la cantidad de clientes esperando ser atendidos en $S$.

Por otro lado, se realiza una simulaci\'on utilizando un modelo M/M/1 equivalente al anterior. La diferencia radica en que en este segundo modelo, la llegada de los clientes se modela con una variable aleatoria con distribuci\'on de Poisson. Los resultados de esta segunda simulaci\'on se muestran en la figura \ref{fig2ej1}.

%un poco mas de analisis? alguna conclusion?

\section{Ejercicio 2}

Se desea crear un sistema a lazo cerrado para un sistema de gu\'ia de un misil a lazo abierto modelado por la siguiente ecuaci\'on:

\begin{equation} \label{first}
y''+0.1y'+15.5y=f(t)
\end{equation}

La descripci\'on en variables de estado del modelo es la siguiente:

\begin{equation}
\begin{cases}
x_1'=x_2\\
x_2'=f(t)-15.5x_1-0.1x_2
\end{cases}
\end{equation}

Se propone un controlador a lazo cerrado de la forma $u(t)=r(t)-kx(t)$ donde $k=(k_1,k_2)^T$ es el vector ganancia, el cual hay que dise\~{n}ar. La descripci\'on en variables de estado es:

\begin{equation}
\begin{cases}
x_1'=x_2\\
x_2'=r(t)+(-15.5x_1-k_1)+(-0.1-k_2)x_2
\end{cases}
\end{equation}

Puede ser representado en forma matricial de la siguiente manera:

\begin{center}
$\frac{dx}{dt}=Ax+br$\\
\end{center}

donde la matriz A y el vector b son:

\begin{center}
\[A= \left( \begin{array}{ccc}
0 & 1\\
-15.5-k_1 & -0.1-k_2\\
\end{array} \right)\]\\

$b=(0,1)^T$
\end{center}

La ecuaci\'on caracter\'istica para el controlador a lazo cerrado es entonces:

\begin{equation} \label{exp1}
\lambda^2+0.1\lambda+k_2\lambda+15.5+k_1=0
\end{equation}

Se dispone de uno de los autovalores: $\lambda_1=-5+2i$ por lo tanto el otro autovalor es $\lambda_2=-5-2i$. Con estos autovalores se calcula la ecuaci\'on caracter\'istica obteniendo:

\begin{equation} \label{exp2}
\lambda^2+10\lambda+29=0
\end{equation}

Se igualan miembro a miembro las expresiones \eqref{exp1} y \eqref{exp2} y se obtiene $k_1=14.5$ y $k_2=9.9$\\

Finalmente la descripci\'on en variables del sistema de controlador es la siguiente:

\begin{equation}
\begin{cases}
x_1'=x_2\\
x_2'=r(t)-29x_1-10x_2
\end{cases}
\end{equation}

Anal\'iticamente, se sabe que ambos sistemas van a tender a estabilizarse por tener todos sus autovalores con parte real negativa. En el caso del sistema a lazo abierto los autovalores son $\lambda_1=-0.05+3.94i$ y $\lambda_2=-0.05-3.94i$. En el caso del sistema a lazo cerrado los autovalores son, como ya se mencion\'o, $\lambda_1=-5+2i$ y $\lambda_2=-5-2i$. El hecho de que posean parte imaginaria distinta de $0$, da cuenta de que ambos sistemas son oscilatorios. Como se puede ver, tanto en el sistema a lazo abierto (figura \ref{fig1ej2}) como en el sistema a lazo cerrado (figura \ref{fig2ej2}), el \'angulo del misil tiende a una constante. En el primer caso, el sistema oscila disminuyendo la amplitud de esas oscilaciones con el paso del tiempo. En el segundo caso, el sistema se estabiliza m\'as r\'apidamente; luego de un tiempo $t > 2.25$.
En la figura (figura \ref{fig3ej2}) se ve que el error comandado por $r(t) - y(t)$ termina tendiendo a $0.9655$ en r\'egimen estacionario.

\section{Ejercicio 3}

Utilizando la integraci\'on de Monte Carlo, se desea estimar la integral dada por la expresi\'on \eqref{doubleint}

\begin{equation} \label{doubleint}
I = \iint_{\mathcal{R}} (x^2 + y^2) e^{-\frac{x^2 + y^2}{2}} dx dy
\end{equation}

donde $\mathcal{R} = [-0.5, 0.5] \times [-0.5, 0.5]$.


El valor obtenido para la integral es $I_e = 0.1475 \pm 0.0014$, lo cual es muy similar al valor real de la integral, que es $I = 0.148496$.

El criterio utilizado para obtener el n\'umero de realizaciones $N$, est\'a basado en $\sigma$, el desv\'io estandar. Cuando la diferencia de $\sigma$ entre dos realizaciones de la simulaci\'on es menor a $0.002$ se considera que los datos existentes son suficientes para una correcta aproximaci\'on. Si bien $\sigma$ var\'ia entre diferentes simulaciones, en la mayor\'ia de los casos el criterio de corte se alcanza en una cantidad de simulaciones del mismo orden de magnitud.
En la \ref{fig1ej3} se muestra la evoluci\'on de la integral en funci\'on del n\'umero de realizaciones, donde se puede ver como a medida que aumenta $N$,  el valor de la integral converge.

En la \ref{fig2ej3} se muestra el desv\'io muestral en funci\'on del n\'umero de realizaciones, y se hace notorio el comportamiento caracter\'istico del m\'etodo utilizado, pues el desv\'io decrece de manera inversamente proporcional a $\sqrt{N}$.

Es interesante analizar la cantidad de simulaciones necesarias para obtener un error menor del $10\%$. Para esto, se realizan $100$ simulaciones utilizando como criterio de corte el obtener un valor con error menor al deseado. La cantidad media de realizaciones $N$ medidas es aproximadamente $26$. Se realiza la misma prueba buscando $N'$, el n\'umero de simulaciones necesarias para obtener un error menor del $5\%$, y se obtiene $N' = 92$. Lo interesante de estos resultados, es que si bien la prueba se realiza sobre un conjunto peque\~no de simulaciones, se puede ya percibir que el error es proporcional a $\frac{1}{\sqrt{N}}$.


\section{Ejercicio 4}
Dados los tiempos de servicios de un servidor web, se hace un an\'alisis con estos datos para obtener nueva informaci\'on estad\'istica relevante.
Se comienza haciendo un test de bondad de ajuste, mediante el m\'etodo $\chi^2$. Con este m\'etodo se determina si los datos con los que se cuenta, provienen de una variable aleatoria de una distribuci\'on conocida.

Con los datos de la muestra se genera el histograma (figura \ref{fig1ej4}). Debido a la forma del histograma se comienza suponiendo que los datos corresponden a una variable aleatoria de distribuci\'on uniforme en el intervalo $(0,1)$. (En los datos provistos, el valor menor es $0.0119$ y el mayor $0.9706$, por eso se generaliza a $(0,1)$ ). Este es entonces para el m\'etodo $\chi2$ la hip\'otesis que se quiere verificar, $H_0$.
El test de bondad de ajuste no es explicado ya que no es el objetivo de este informe, solo se
comentan los par\'ametros elegidos para su realizaci\'on, y el resultado obtenido.

Se agrupan los $100$ datos en $10$ clases, donde el valor esperado $E_i$ de cada una es $10$, debido a que se supone una distribuci\'on uniforme. Ya que $n$ (el n\'umero de categor\'ias) es $10$, se tiene $n-1$ grados de libertad, $9$. El nivel de significaci\'on $\alpha$ elegido es de $0.05$, dando un $95\%$ de nivel de confianza.
Se realiza el an\'alisis y se obtiene que $\chi_{0}^{2} = 5.600$ y que este valor es menor que $\chi_{(9,0,05)}^2 = 16.919$, por lo que se acepta la hip\'otesis $H_0$ y se puede decir que se trata de una distribuci\'on uniforme en el intervalo $(0,1)$.\\

Se cuenta tambi\'en con un diagrama Q-Q, en el cual se ve la fidelidad con la cual los datos provistos responden a una distribuci\'on
uniforme. Para esto se comparan los valores de la muestra contra los que realmente pertencen a una distribuci\'on deseada, en nuestro caso la uniforme.
Se tiene un vector $y$ con los datos de la muestra ordenados ascendentemente donde cada elemento $y_j$ es un estimado del cuantil $\frac{j-0.5}{n}$. El valor te\'orico del cuantil debe ser $F^{-1}(\frac{j-0.5}{n})$.

Sabemos que la distribuci\'on de probabilidad $F$ es

$$
F(x)=\left\{ \begin{array}{llcl}

&0 &para &x<a\\

&\frac{x-a}{b-a} &para &a \le x<b\\

&1 &para &x \ge b

\end{array} \right.
$$

Se calcula $F^{-1}$, solo para el intervalo $0 \le x<b$ que es el que resulta relevante, y se obtiene

\begin{center}
$F^{-1}(x) = x*(b-a)+a$
\end{center}

Para el caso que se analiza, $a=0$ y $b=1$.

En la figura \ref{fig2ej4} se encuentran graficados los puntos $(y_j ,F^{-1}(\frac{j-0.5}{n}) )$. Se puede ver que el resultado puede ser aproximado con una recta que pase por el origen, lo que indica que el dato muestral es muy similar al valor te\'orico correspondiente, confirmando que los datos provistos responden correctamente a una variable aleatoria con distribuci\'on uniforme en el intervalo $(0,1)$.

\section{Ejercicio 5}

\subsection{Modelo SIR}
Para modelar el progreso de una epidemia en una poblaci\'on de tama\~no $N$, se debe reducir la diversidad de la poblaci\'on en los aspectos
caracter\'isticos clave de la misma, que sean relevantes a la infecci\'on que se propaga. Tiene sentido entonces dividir a una poblaci\'on entre los que son susceptibles a dicha infecci\'on, los que ya est\'an infectados y aquellos
que se han recuperado y son inmunes. 

A estas subdivisiones se le llaman compartimentos. Por convenci\'on, se llama a estos tres compartimentos 
$S(t), I(t), R(t)$ respectivamente, que indican la cantidad de individuos \textbf{S}usceptibles, \textbf{I}nfectados 
y \textbf{R}ecuperados en el tiempo. A \'este modelo se lo denomina $SIR$.

Si se cumple que en el modelo $N = S + I + R$, entonces no habr\'a decesos ni nacimientos en la poblaci\'on. Es decir, la variaci\'on total del n\'umero de individuos es $\tfrac{dS}{dt} + \tfrac{dI}{dt} + \tfrac{dR}{dt} = 0$. El modelo es gobernado por las siguientes ecuaciones diferenciales no lineales:

\begin{eqnarray}
\frac{dS}{dt} &=& - \beta S I \label{eq:sir1} \\
\frac{dI}{dt} &=& \beta S I - \gamma I \label{eq:sir2}\\
\frac{dR}{dt} &=& \gamma I \label{eq:sir3}
\end{eqnarray}

donde $\gamma = 0.5$ y $\beta = 0.02$ son constantes positivas y cuyo coeficiente define $\rho = \gamma / \beta$ \textit{tasa relativa de remoci\'on epid\'emica}. 

La ecuaci\'on (\ref{eq:sir1}) representa la variaci\'on de la cantidad de individuos susceptibles. Para que un individuo deje de pertenecer al compartimento $S(t)$, \'este se debe infectar. La tasa de cambio de individuos susceptibles en un instante $t$ depende de la cantidad de individuos susceptibles y de la cantidad de infectados en dicho instante, ya que un individuo infectado, estar\'a en contacto con otros $n$ individuos, de los cuales una proporci\'on de estos ser\'an susceptibles. 

A esa proporci\'on o \textit{ratio de infecci\'on} se la define como $\beta$, y luego por cada infectado $i \in I(t)$, habr\'an $\beta S(t)$ cantidad de contactos entre individuos susceptibles e $i$. Si se tiene en cuenta todo el compartimento de infectados, entonces en promedio la cantidad de contactos entre $S(t)$ e $I(t)$ ser\'a $\beta S(t) I(t)$ para cada instante de tiempo $t$. Estas son las razones que conducen a la ecuaci\'on (\ref{eq:sir1}), el signo negativo se debe a que al no haber nacimientos, $S(t) \geq S(t + \triangle t) \therefore \tfrac{dS}{dt} < 0$.

Por otro lado, la ecuaci\'on (\ref{eq:sir2}) es la variaci\'on de la cantidad de infectados. El n\'umero de individuos infectados depende de los susceptibles que se infectan, que como ya se vi\'o antes es $\beta S(t) I(t)$, y de la cantidad de infectados que se recuperan en cada instante $t$, que son los que abandonan el compartimento $I(t)$. 

La cantidad de recuperados depende exclusivamente del paso del tiempo, ya que un individuo infectado se recupera luego de pasado cierto tiempo. Llamando $\gamma$ a la proporci\'on o \textit{ratio de recuperaci\'on} de individuos que se recuperan en cada instante $t$, entonces la cantidad de recuperados ser\'a $\gamma I(t)$. Finalmente, la variaci\'on de los infectados ser\'a la resta de los individuos susceptibles que se infectaron y los que se recuperaron, es decir: $\beta S(t) I(t) - \gamma I(t)$, que es nada menos que la ecuaci\'on (\ref{eq:sir2}).

Por \'ultimo, la ecuaci\'on (\ref{eq:sir3}) indica la variaci\'on de la cantidad de individuos recuperados. Dicha cantidad depende
exclusivamente de la cantidad de individuos que se recuperan en cada instante $t$ que como ya se vi\'o es $\gamma I(t)$ y de ah\'i se origina la ecuaci\'on (\ref{eq:sir3}).

\subsection{Simulaci\'on SIR}

Tomando $N = 100$, se lleva a cabo la simulaci\'on del modelo $SIR$, con condiciones iniciales:\\

\begin{tabular}{c|c}
$SIR(0)$ & Valor\\
\hline
\hline
$S(0)$ & $(N - \alpha N)$\\
$I(0)$ & $\alpha N$\\
$R(0)$ & $0$
\label{tbl:sir1}
\end{tabular}\\

\textbf{Tabla \ref{tbl:sir1}:} Condiciones iniciales de la simulaci\'on para valores de $\alpha = \{0.01\%, 0.1\%, 1\%, 5\%,10\%, 20\%$\}\\

donde la unidad de tiempo es en dias. Para la resoluci\'on de las ecuaciones diferenciales (\ref{eq:sir1}), (\ref{eq:sir2}) y (\ref{eq:sir3}) se utiliza el m\'etodo de \textbf{Runge-Kutta} de orden $\vartheta(h^4)$. Los resultados se observan en las figuras \ref{fig:sir1}, \ref{fig:sir2}, \ref{fig:sir3}, \ref{fig:sir4}, \ref{fig:sir5} y \ref{fig:sir6} para los valores de $\alpha = \{0.01\%, 0.1\%, 1\%, 5\%,10\%, 20\%$\} respectivamente.\\

Sea $R_0 = \tfrac{\beta S}{\gamma} = \tfrac{S}{\rho}$ el \textit{umbral epidemiol\'ogico} que determina la cantidad de individuos susceptibles infectados por individuos ya infectados.

De los resultados, se concluye que a mayor valor de $\alpha$, $\tfrac{dS}{dt}$ es mayor al comienzo de la simulaci\'on, con lo cual $S(t)$ decrece m\'as pronunciadamente. Esto implica que al inicio tambi\'en aumenta la cantidad de infectados, por ende ser\'a superior el n\'umero de individuos susceptibles que se infectan, es decir $R_0$ aumenta, y se alcanza un m\'aximo de infectados mayor al que se alcanzar\'ia con un valor de $\alpha$ menor. 

Sin embargo, como la cantidad de infectados es mayor al principio, tambi\'en lo es inicialmente la variaci\'on de individuos recuperados, con lo cual, $I(t)$ y $R(t)$ alcanzan su tope en menor tiempo, siempre comparando contra una simulaci\'on en las mismas condiciones con un valor de $\alpha$ m\'as peque\~no. Todo esto se evidencia en las figuras antes mencionadas.

Adem\'as, puede concluirse que cuando $R_0 < 1$, $\tfrac{dI}{dt} < 0$ y por ende la epidemia terminar\'a si se mantiene esa situaci\'on, mientras que si $R_0 > 1$ ocurre exactamente lo opuesto. Esto se refuerza con los resultados, pues si se toma el valor de $S(t)$ cuando $I(t)$ es m\'aximo, $R_0 = 1$ y sigue una tendencia decreciente, por lo tanto se hace inferior a $1$ y la epidemia disminuye.

\section{Referencias}

\begin{itemize}

\item{ www.wolframalpha.com }
\item{ Alejandro Ra\'ul D\'iaz, Clase 3. Elementos de Probabilidad. 2007 }0
\item{ Alejandro Ra\'ul D\'iaz, Clase 4. N\'umeros Pseudo-Aleatorios. 2007 }
\item{ Alejandro Ra\'ul D\'iaz, Clase 5. Simulaci\'on de Montecarlo 2007 }

\end{itemize}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/FIGURA1EJ1.png}
\caption{Tiempo medio en cola por cliente}
\label{fig1ej1}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/FIGURA2EJ1.png}
\caption{Tiempo medio en cola por cliente}
\label{fig2ej1}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{images/FIGURA1EJ2.png}
\caption{Sistema a lazo abierto}
\label{fig1ej2}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.7]{images/FIGURA2EJ2.png}
\caption{Sistema a lazo cerrado}
\label{fig2ej2}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{images/FIGURA3EJ2.png}
\caption{Error sistema a lazo cerrado}
\label{fig3ej2}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/FIGURA1EJ3.png}
\caption{Evolución del valor de la integral}
\label{fig1ej3}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/FIGURA2EJ3.png}
\caption{Evolución del Desvío Muestral}
\label{fig2ej3}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/FIGURA1EJ4.png}
\caption{Histograma de los datos provistos}
\label{fig1ej4}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/FIGURA2EJ4.png}
\caption{Diagrama Q-Q. Cuantil observado vs Cuantil te\'orico}
\label{fig2ej4}
\end{figure*}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FIGURES PROBLEMA 5 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.7]{images/sir1.png}
\caption{N\'umero de individuos susceptibles, infectados y recuperados, para $\alpha = 0.01\%$}
\label{fig:sir1}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.7]{images/sir2.png}
\caption{N\'umero de individuos susceptibles, infectados y recuperados, para $\alpha = 0.1\%$}
\label{fig:sir2}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.7]{images/sir3.png}
\caption{N\'umero de individuos susceptibles, infectados y recuperados, para $\alpha = 1\%$}
\label{fig:sir3}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.7]{images/sir4.png}
\caption{N\'umero de individuos susceptibles, infectados y recuperados, para $\alpha = 5\%$}
\label{fig:sir4}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.7]{images/sir5.png}
\caption{N\'umero de individuos susceptibles, infectados y recuperados, para $\alpha = 10\%$}
\label{fig:sir5}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.7]{images/sir6.png}
\caption{N\'umero de individuos susceptibles, infectados y recuperados, para $\alpha = 20\%$}
\label{fig:sir6}
\end{figure*}


\end{document}

